ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त

01भिल्लमाल में

जिष्णु के पुत्र ब्रह्मगुप्त बताते हैं कि उन्होंने चाप वंश के राजा व्याघ्रमुख के राज्य में, शक संवत 550 में, तीस वर्ष की आयु में यह ग्रंथ लिखा। यह 628 ई. है, अतः उनका जन्म 598 ई. में हुआ। भिल्लमाल, आज के राजस्थान के जालोर ज़िले का भीनमाल, तब पश्चिमी भारत में विद्या का केंद्र था, और पाँच सौ वर्ष बाद भास्कराचार्य ने उन्हें गणकचक्रचूडामणि, यानी गणितज्ञों के मंडल का शिरोमणि, कहा। उनके जीवन की कोई तिथि विवाद में नहीं; वे स्वयं सब बता देते हैं।

02ब्रह्मा का सिद्धान्त स्पष्ट हुआ

ग्रंथ का नाम ही इसकी अपनी कथा है। ब्रह्मगुप्त कहते हैं कि भगवान ब्रह्मा द्वारा कहा गया ग्रह-गणित बहुत लंबे काल में शिथिल पड़ गया था, और वे उसे फिर स्फुट, यानी स्पष्ट और शुद्ध, करके कहते हैं। उनका आधार पैतामह सिद्धान्त था, पितामह का उपदेश, जो संक्षिप्त रूप में विष्णुधर्मोत्तर पुराण में बचा है। उन्होंने उसका ढाँचा रखा, सृष्टि से आरम्भ होने वाला 4,32,00,00,000 वर्ष का कल्प, और उसके अंकों को आकाश में दिखने वाली स्थिति के अनुकूल किया। जहाँ वेध और किसी पुराने आचार्य में मतभेद था, वहाँ उन्होंने वेध पर भरोसा किया।

03चौबीस अध्याय

पहले दस अध्याय अपने में पूरा सिद्धान्त हैं: ग्रहों के मध्यम और स्पष्ट स्थान, दिक्-देश-काल के तीन प्रश्न, चंद्र और सूर्य ग्रहण, उदय-अस्त, चंद्रमा का शृंग और उसकी छाया, ग्रहों की परस्पर और नक्षत्रों के साथ युति। ग्यारहवाँ अध्याय पूर्ववर्ती तंत्रों की परीक्षा करता है। बारहवाँ अंकगणित और ज्यामिति है। तेरह से सत्रह तक पहले दस अध्यायों पर कठिन प्रश्न हैं। अठारहवाँ बीजगणित है, उन्नीसवाँ शंकु, बीसवाँ छंद, इक्कीसवाँ गोल, बाईसवाँ यंत्र, तेईसवाँ काल-मान, और चौबीसवाँ उपसंहार, जिसमें लेखक अपना परिचय देते हैं।

04शून्य के नियम

कुट्टकाध्याय में ब्रह्मगुप्त धनात्मक संख्या को धन, ऋणात्मक को ऋण, और शून्य को ख या शून्य कहते हैं। फिर छह श्लोकों में नियम देते हैं। दो ऋण जुड़ें तो ऋण; ऋण और शून्य जुड़ें तो ऋण; शून्य और शून्य जुड़ें तो शून्य। ऋण गुणा ऋण धन है; ऋण गुणा धन ऋण है; किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करो तो शून्य। ऋण या धन का वर्ग धन है। शून्य से भाग देने पर वे उसे ऐसी राशि कहते हैं जिसका हर शून्य है। एक नियम आगे नहीं टिका: वे शून्य को शून्य से भाग देने पर शून्य कहते हैं। बाकी सब वही है जो आज बच्चे सीखते हैं।

05भावना और 92 का प्रश्न

इसी अध्याय में वर्गप्रकृति है, यानी Nx² + 1 = y² जैसा समीकरण। ब्रह्मगुप्त की भावना, यानी संयोजन, दो हलों से तीसरा हल बनाती है; आज के रूप में लिखें तो इसका आधार (a² − Nb²)(c² − Nd²) = (ac + Nbd)² − N(ad + bc)² सर्वसमिका है। इससे एक हल से अनगिनत हल निकलते हैं। वे चुनौती देते हैं: जो एक वर्ष के भीतर 92x² + 1 को वर्ग बना दे, वही गणक है। सबसे छोटा उत्तर x = 120, y = 1,151 है। बाद में भास्कराचार्य के चक्रवाल ने ऐसे हर समीकरण को हल किया; यूरोप ने यह प्रश्न 1657 में फ़र्मा के साथ उठाया।

06चक्रीय चतुर्भुज

बारहवाँ अध्याय यह कहकर खुलता है कि जो बीस परिकर्म और छाया तक के आठ व्यवहार जानता है, वह गणक है। इसकी ज्यामिति में ब्रह्मगुप्त का सबसे प्रसिद्ध नियम है। वृत्त में बने चतुर्भुज की परिधि का आधा लो, उसमें से बारी-बारी हर भुजा घटाओ, चारों शेषों को गुणा करो और वर्गमूल लो: यही सूक्ष्म क्षेत्रफल है। वे भुजाओं से विकर्णों की लंबाई, परिवृत्त की त्रिज्या, और परिमेय भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज भी देते हैं। त्रिभुज के लिए हीरोन का नियम उनके नियम से तब निकलता है जब एक भुजा शून्य हो।

07खगोल और तंत्रपरीक्षा

खगोल के अध्याय ग्रहण को पल तक, चंद्र-शृंग की ऊँचाई, और किसी भी दिन शंकु की छाया गिनते हैं, और बाईसवाँ अध्याय वेध-यंत्रों का वर्णन करता है। ग्यारहवें अध्याय में ब्रह्मगुप्त पूर्ववर्ती ग्रंथों की, सबसे अधिक आर्यभट की, परीक्षा करते हैं और प्रायः कठोर हैं: वे घूमती पृथ्वी और आर्यभट के चार समान युगपादों को नहीं मानते। अल-बिरूनी उनका यह कथन उद्धृत करते हैं कि भारी वस्तुएँ पृथ्वी पर गिरती हैं क्योंकि पृथ्वी का स्वभाव ही उन्हें खींचकर थामना है। उनकी बाद की करण-पुस्तिका खण्डखाद्यक (665 ई.) में ज्या-सारणी के बीच के मान निकालने का द्वितीय-क्रम अंतर्वेशन नियम भी है।

08बग़दाद का मार्ग

770 के दशक के आरम्भ में सिंध से आए एक दूत-मंडल के साथ एक भारतीय ज्योतिषी बग़दाद में ख़लीफ़ा अल-मंसूर के दरबार पहुँचे, ब्रह्मगुप्त की परंपरा का एक सिद्धान्त लेकर। मुहम्मद अल-फ़ज़ारी और याक़ूब इब्न तारिक़ ने उसका अरबी में ज़ीज अल-सिंदहिंद नाम से रूपांतर किया, और अल-ख़्वारिज़्मी ने उसी पर अपनी सारणियाँ बनाईं। खण्डखाद्यक अरबी में अल-अरकंद बना। ग्यारहवीं शताब्दी में संस्कृत सीखने वाले अल-बिरूनी बार-बार ब्रह्मगुप्त को उद्धृत करते हैं। इन्हीं ग्रंथों से भारतीय अंक और शून्य अरब जगत, और वहाँ से यूरोप, पहुँचे।

09टीकाएँ और संस्करण

चतुर्वेद कहे जाने वाले पृथूदक स्वामी ने नौवीं शताब्दी में इस पर वासनाभाष्य लिखा, और उनकी टीका की एक पांडुलिपि ब्रिटिश लाइब्रेरी में है। भास्कराचार्य ने सिद्धान्त शिरोमणि ब्रह्मगुप्त के ही स्थिरांकों पर खड़ा किया। एच. टी. कोलब्रुक ने 1817 में बारहवें और अठारहवें अध्याय का अंग्रेज़ी अनुवाद किया, जिससे यूरोप के पाठकों ने पहली बार देखा कि भारतीय बीजगणित कितना आगे था। सुधाकर द्विवेदी ने 1902 में काशी से पूरा संस्कृत पाठ छापा, और राम स्वरूप शर्मा ने 1966 में नई दिल्ली से हिंदी टीका सहित चार खंडों में प्रकाशित किया।

इसमें क्या है

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   अध्याय 1–2: मध्यम और स्फुट

   कल्प और उसके भगण, किसी भी दिन ग्रहों के मध्यम स्थान, और उनका स्पष्ट स्थान तक संशोधन। बाकी ग्रंथ जिन स्थिरांकों पर टिका है, वे इन्हीं दो अध्यायों में हैं।

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   अध्याय 3: त्रिप्रश्न

   दिशा, देश और काल के तीन प्रश्न, शंकु की छाया से हल। इसमें दिशा-निर्धारण, स्थान का अक्षांश और दिन का समय निकालना है।

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   अध्याय 4–5: ग्रहण

   चंद्र और सूर्य ग्रहण: कब पड़ेगा, कितनी देर रहेगा, बिंब का कितना भाग ढकेगा। सूर्यग्रहण के अध्याय में लंबन का संशोधन भी है।

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   अध्याय 6–10: उदयास्त, शृंग, युति

   ग्रहों का उदय और अस्त, चंद्रमा के शृंग की उन्नति और चंद्र-छाया। फिर ग्रहों की आपस में और नक्षत्र-तारों के साथ युति।

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   अध्याय 11: तन्त्रपरीक्षा

   पूर्ववर्ती ज्योतिषियों, आर्यभट, श्रीषेण, विष्णुचंद्र आदि की समीक्षा। ब्रह्मगुप्त बताते हैं कि उनके मत में उनके अंक और सिद्धान्त कहाँ चूकते हैं।

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   अध्याय 12: गणित

   अंकगणित और ज्यामिति के छियासठ श्लोक: बीस परिकर्म, अनुपात, श्रेढ़ी, क्षेत्र, चक्रीय चतुर्भुज, आयतन, खात, क्रकच और छाया। कोलब्रुक ने 1817 में इसका अनुवाद किया।

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   अध्याय 13–17: उत्तर-अध्याय

   उत्तर-अध्याय, जो मध्यम गति, स्पष्ट गति, त्रिप्रश्न, ग्रहण और शृंगोन्नति पर कठिन प्रश्नों और उनके हलों के साथ लौटते हैं। ये परखते हैं कि विद्यार्थी ने पहले दस अध्याय सचमुच साध लिए हैं या नहीं।

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   अध्याय 18: कुट्टक

   बीजगणित के लगभग सौ श्लोक: कुट्टक, धन, ऋण और शून्य के नियम, अव्यक्त राशि, वर्ग समीकरण, अनेक अव्यक्तों वाले समीकरण, और भावना सहित वर्गप्रकृति। अंत में ऐसे प्रश्न हैं जिन्हें एक वर्ष में हल करने की चुनौती दी गई है।

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   अध्याय 19–21: शंकु, छंद, गोल

   उन्नीसवाँ अध्याय शंकु की छाया पर, बीसवाँ संस्कृत छंदों में अक्षरों के क्रम-भेद गिनने पर, और इक्कीसवाँ खगोल और उसके वृत्तों पर है।

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    अध्याय 22–24: यंत्र, मान, संज्ञा

    बाईसवाँ अध्याय वेध-यंत्रों का, तेईसवाँ सौर, चांद्र, नाक्षत्र और सावन काल-मानों का वर्णन करता है। चौबीसवाँ ग्रंथ को समाप्त करता है और ब्रह्मगुप्त का नाम, पिता, राजा, नगर और आयु बताता है।

प्रसिद्ध श्लोक

स्थूलफलं त्रिचतुर्भुजबाहुप्रतिबाहुयोगदलघातः। भुजयोगार्धचतुष्टयभुजोनघातात् पदं सूक्ष्मम्॥

त्रिभुज या चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाओं के योग के आधों का गुणनफल स्थूल क्षेत्रफल है। भुजाओं के योग का आधा चार बार लेकर हर एक में से एक भुजा घटाओ और गुणा करो; उसका वर्गमूल सूक्ष्म क्षेत्रफल है।Brahmasphutasiddhanta 12.21

धनयोर्धनमृणमृणयोर्धनर्णयोरन्तरं समैक्यं खम्। ऋणमैक्यं च धनमृणधनशून्ययोः शून्ययोः शून्यम्॥

दो धन का योग धन, दो ऋण का योग ऋण; धन और ऋण का योग उनका अंतर, और दोनों बराबर हों तो शून्य। ऋण और शून्य का योग ऋण, धन और शून्य का धन, और दो शून्यों का शून्य।Brahmasphutasiddhanta 18.30

ऋणमृणधनयोर्घातो धनमृणयोर्धनवधो धनं भवति। शून्यर्णयोः खधनयोः खशून्ययोर्वा वधः शून्यम्॥

ऋण और धन का गुणनफल ऋण है; दो ऋणों का धन; दो धनों का धन। शून्य और ऋण, शून्य और धन, या दो शून्यों का गुणनफल शून्य है।Brahmasphutasiddhanta 18.33

राशिकलाशेषकृतिं द्विनवतिगुणितां त्र्यशीतिगुणितां वा। सैकां ज्ञदिने वर्गं कुर्वन्नावत्सराद्गणकः॥

कला-शेष के वर्ग को बानवे या तिरासी से गुणा करके एक जोड़ने पर जो बुधवार के दिन उसे पूर्ण वर्ग बना दे, एक वर्ष के भीतर ऐसा करने वाला ही गणक है।Brahmasphutasiddhanta 18.75