युक्तिभाषा

01नियमों के पीछे का तर्क

गणित के अधिकांश संस्कृत ग्रंथ नियम श्लोक में कहते हैं और कारण गुरु पर छोड़ देते हैं। ज्येष्ठदेव ने कारण लिख दिए। युक्ति का अर्थ है वह तर्क जो नियम को सिद्ध करे, और भाषा का अर्थ बोलचाल की भाषा, यहाँ मलयालम। वे कहते हैं कि वे नीलकण्ठ सोमयाजी के तन्त्रसंग्रह का अनुसरण करते हैं और उपपत्तियाँ वैसी ही रखते हैं जैसी उन्होंने अपने गुरु दामोदर से पाईं। गद्य सरल और धैर्यवान है, उस विद्यार्थी के लिए जो हर चरण देखना चाहता है, और बार-बार रुककर कहता है: अब दिखाते हैं कि ऐसा क्यों है।

02निला-तट के ज्येष्ठदेव

ज्येष्ठदेव परंगोट्टु कुल के नम्बूदिरी थे, जिनका घर निला, अर्थात भारतपुझा, के तट पर आलत्तियूर के पास था, केरल परंपरा के ठीक केंद्र में। के. वी. शर्मा को मिली एक बाद की ज्योतिष-पांडुलिपि की टिप्पणी उनका जन्म लगभग 1500 ई. में बताती है और कहती है कि वे दीर्घायु हुए। उन्होंने ज्योतिषी परमेश्वर के पुत्र दामोदर से विद्या पाई और नीलकण्ठ के छोटे समकालीन थे, जिनका तन्त्रसंग्रह 1500 ई. का है। उनके शिष्य अच्युत पिषारटि ने आगे नारायणीयम् के कवि मेलपत्तूर नारायण भट्टतिरि को पढ़ाया। युक्तिभाषा प्रायः लगभग 1530 ई. की मानी जाती है, यद्यपि कुछ इसे कुछ दशक बाद रखते हैं।

03माधव से नीलकण्ठ तक

केरल परंपरा संगमग्राम के माधव से आरम्भ होती है, जो आज के इरिंजालकुडा के पास थे और लगभग 1340 से 1425 ई. तक रहे। श्रेणियों पर उनका अपना लिखा लगभग कुछ नहीं बचा; उनके परिणाम शिष्यों के मार्ग से आए। वटश्शेरि के परमेश्वर ने पचपन वर्ष ग्रहण और ग्रहों का वेध किया और 1431 में दृग्गणित लिखा। उनके पुत्र दामोदर ने नीलकण्ठ और ज्येष्ठदेव दोनों को पढ़ाया। कुण्डपुर, तृक्कण्टियूर, के नीलकण्ठ सोमयाजी ने 432 श्लोकों का तन्त्रसंग्रह और आर्यभटीय पर बड़ा भाष्य लिखा। यह परंपरा तीन शताब्दी और चली, निला के किनारे के इल्लमों में, गुरु से शिष्य तक, संस्कृत श्लोक और मलयालम व्याख्या में।

04दो भाग, पंद्रह अध्याय

पहला भाग सात अध्यायों में गणित है। यह परिकर्म, दो संख्याओं पर दस प्रश्न, भिन्न और त्रैराशिक से धीरे-धीरे आरम्भ होकर कुट्टक तक जाता है। छठा अध्याय, वृत्त पर, पूरे ग्रंथ का सबसे लंबा है और इसी में अनंत श्रेणियाँ हैं। सातवाँ ज्या और कोटिज्या बनाकर उनकी श्रेणियाँ देता है, चक्रीय चतुर्भुज के साथ। दूसरा भाग, आठ अध्याय, यह सब आकाश पर लगाता है: स्पष्ट ग्रह, भूगोल और खगोल, गोलीय खगोल के पंद्रह प्रश्न, शंकु की छाया, ग्रहण, व्यतीपात, दृक्कर्म, और चंद्रमा के शृंग।

05π की श्रेणी

छठा अध्याय एक वर्ग के भीतर चौथाई वृत्त लेता है, एक भुजा को और-और छोटे बराबर भागों में बाँटता है, और केंद्र तक खींची रेखाओं से कटे नन्हे चापों को जोड़ता है। इन्हें जोड़ने के लिए पहली n संख्याओं की घातों के योग चाहिए, और ग्रंथ दिखाता है कि n बढ़ने पर k-वीं घातों का योग n की k+1 घात को k+1 से भाग देने के निकट पहुँचता है। इसी से माधव की श्रेणी निकलती है: परिधि व्यास का चार गुना है, उसमें से उसके चार गुने का तिहाई घटाओ, पाँचवाँ भाग जोड़ो, सातवाँ घटाओ, और यह क्रम अनंत तक। सीधी श्रेणी धीरे-धीरे पास आती है, इसलिए ग्रंथ शेष के लिए संशोधन-पद निकालता है, जिनसे थोड़े पदों में ही अनेक दशमलव शुद्ध आ जाते हैं।

06ज्या, कोटिज्या और चापीय श्रेणी

यही विधि किसी भी आकार के चाप पर लगाने से चाप को उसकी स्पर्शज्या के रूप में देने वाली श्रेणी निकलती है, जिसे यूरोप ने बाद में ग्रेगरी की श्रेणी कहा; चाप को वृत्त का आठवाँ भाग रखो तो π की श्रेणी आ जाती है। सातवाँ अध्याय फिर एक छोटा चाप लेकर देखता है कि उस पर ज्या और कोटिज्या कितनी बदलती हैं, और फिर से योग करके ज्या और कोटिज्या की श्रेणियों तक पहुँचता है: ज्या बराबर चाप, घटा चाप का घन बटा छह, जोड़ चाप की पाँचवीं घात बटा एक सौ बीस, और आगे। माधव ने ऐसी श्रेणियों से अनेक दशमलव तक शुद्ध ज्या-सारणी बनाई, और ग्यारह दशमलव तक शुद्ध π का मान उन्हीं का माना जाता है।

07खगोल का भाग

दूसरा भाग नीलकण्ठ के संशोधित ग्रह-मॉडल की व्याख्या करता है। तन्त्रसंग्रह में नीलकण्ठ ने बुध और शुक्र का पुराना नियम बदला था, जिससे पाँचों ग्रह मध्यम सूर्य के चारों ओर चलते हैं, और वह सूर्य पृथ्वी के चारों ओर। ज्येष्ठदेव इसके पीछे की ज्यामिति देते हैं, फिर छाया, विक्षेप और ग्रहण के नियमों के कारण, गोल पर पृथ्वी की छाया और चंद्रमा के लंबन की गणना के साथ। वे दृक्कर्म, यानी दृश्यता-संशोधन, और चंद्र-शृंग की ऊँचाई की गणना समझाते हैं। पूरा उद्देश्य यह दिखाना है कि पंचांग के अंक जैसे आते हैं, वैसे क्यों आते हैं।

08प्रकाश में

मद्रास सिविल सेवा के चार्ल्स विश ने 1834 में छपे रॉयल एशियाटिक सोसाइटी के एक लेख में केरल की श्रेणियों का वर्णन किया और अपने स्रोतों में तन्त्रसंग्रह और युक्तिभाषा का नाम लिया, पर एक शताब्दी तक उस पर अधिक काम नहीं हुआ। 1948 में राम वर्मा मारु तम्पुरान और ए. आर. अखिलेश्वर अय्यर ने गणित-भाग टिप्पणियों सहित मलयालम में प्रकाशित किया। के. वी. शर्मा ने पूरा पाठ संपादित किया, और के. रामसुब्रमण्यन, एम. डी. श्रीनिवास तथा एम. एस. श्रीराम की व्याख्यात्मक टिप्पणियों सहित उनका अंग्रेज़ी अनुवाद 2008 में दो खंडों में छपा। इसका एक संस्कृत रूप, गणितयुक्तिभाषा, भी मिलता है, पर उसे किसने बनाया, यह ज्ञात नहीं।

09केरल और यूरोप

π, ज्या, कोटिज्या और स्पर्शज्या की श्रेणियाँ यूरोप में सत्रहवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में जेम्स ग्रेगरी, आइज़क न्यूटन और गॉटफ़्रीड लाइबनिज़ के साथ आती हैं। सोलहवीं शताब्दी से जेसुइट मिशनरी केरल में थे, मलयालम सीख रहे थे और स्थानीय पंचांग का अध्ययन कर रहे थे, और कुछ इतिहासकारों ने पूछा है कि क्या केरल का गणित उनके साथ पश्चिम गया। अब तक ऐसा कोई दस्तावेज़ नहीं मिला जो इसे सिद्ध करे, और प्रश्न खुला है। तिथि निश्चित है: युक्तिभाषा की उपपत्तियाँ यूरोप से एक शताब्दी से अधिक पहले लिखी जा चुकी थीं, और गणित के इतिहासकार आज इसे संसार के उन आरंभिक ग्रंथों में गिनते हैं जो कलन के विचारों की ओर चरण-दर-चरण तर्क करते हैं।

इसमें क्या है

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   1. परिकर्म

   मूल परिकर्म: जोड़, घटाना, गुणा, भाग, वर्ग और वर्गमूल। हर एक के साथ बताया गया है कि वह क्यों काम करता है, और यही पूरे ग्रंथ की शैली तय करता है।

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   2. दशप्रश्न

   दस प्रश्न, जिनमें दो राशियाँ उनके योग, अंतर, गुणनफल, वर्गों के योग और वर्गों के अंतर में से किन्हीं दो से निकाली जाती हैं। उपपत्तियाँ आयतों और वर्गों के चित्र से दी गई हैं।

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   3. भिन्नगणित

   भिन्न और उन पर परिकर्म। यह वृत्त वाले अध्याय में भिन्नों के लंबे योगों की तैयारी है।

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   4. त्रैराशिक

   त्रैराशिक और अनुपात क्यों काम करता है। ज्येष्ठदेव इसे खगोल की लगभग हर गणना की जड़ मानते हैं।

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   5. कुट्टाकार

   प्रथम घात के अनिर्धार्य समीकरण, कुट्टक से हल। तर्क दिखाता है कि भागों की शृंखला पूर्णांक उत्तर पर क्यों रुकती है।

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   6. परिधि और व्यास

   वृत्त और उसकी परिधि: π की अनंत श्रेणी, पूर्णांकों की घातों के योग, स्पर्शज्या की श्रेणी, और शीघ्र परिणाम के लिए संशोधन-पद। यह सबसे लंबा और सबसे अधिक उद्धृत अध्याय है।

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   7. ज्या

   ज्या और कोटिज्या: उन्हें कैसे निकालें, उनकी अनंत श्रेणियाँ, और चापों के योग की ज्या। इसमें चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण, क्षेत्रफल और परिवृत्त-त्रिज्या भी हैं।

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   8. ग्रहगति

   मध्यम और स्पष्ट ग्रह, मंद और शीघ्र संस्कारों के कारणों सहित। नीलकण्ठ का संशोधित ग्रह-मॉडल यहीं समझाया गया है।

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   9. भूगोल और भगोल

   पृथ्वी का गोल और नक्षत्रों का गोल, और उन पर खींचे जाने वाले वृत्त। यह गोलीय त्रिकोणमिति की भूमि तैयार करता है।

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    10. पंचदश प्रश्न

    सूर्य के भोगांश, क्रांति, विषुवांश और गोल पर अन्य राशियों को जोड़ने वाले पंद्रह प्रश्न। हर एक दो दी गई राशियों से हल होता है।

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    11. छाया

    शंकु की छाया से दिशा, अक्षांश और समय। दैनिक गणना में प्रयुक्त नियमों के कारण दिए गए हैं।

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    12. ग्रहण

    सूर्य और चंद्र ग्रहण, पृथ्वी की छाया और चंद्रमा के लंबन सहित। यह बताता है कि ग्रहण-काल में वे संशोधन क्यों आवश्यक हैं।

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    13. व्यतीपात

    वे क्षण जब सूर्य और चंद्र की क्रांति बराबर होती है, जिन्हें पंचांग व्यतीपात कहता है। ग्रंथ उन्हें निकालने की विधि देता है।

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    14. दृक्कर्म

    दृश्यता-संशोधन: क्रांतिवृत्त पर ग्रह के स्थान को किसी द्रष्टा के लिए उसके उदय या अस्त के क्षण में कैसे बदलें। यह गणना को आँख से दिखने वाले से जोड़ता है।

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    15. शृंगोन्नति

    चंद्र-शृंग की उन्नति: किसी संध्या को अर्धचंद्र का कौन-सा सिरा ऊँचा दिखेगा। इसी से ग्रंथ पूरा होता है।