लीलावती

01एक कन्या से प्रश्न

बहुत-से प्रश्न संबोधन से आरम्भ होते हैं। अये बाले लीलावति, हे बुद्धिमती बालिका लीलावती, ये संख्याएँ जोड़ो। हे हिरन के बच्चे जैसी चंचल आँखों वाली, शीघ्र बताओ। भौंरों के झुंड का पाँचवाँ भाग कदम्ब के फूल पर जाता है; हंसों के झुंड के वर्गमूल के आधे का सात गुना सरोवर के तट पर चलता है; खंभे पर बैठा मोर बिल की ओर जाते साँप को देखता है; प्रेमी-युगल की खींचतान में मोतियों का हार टूटकर फ़र्श पर बिखर जाता है। हर दृश्य में अंकगणित का एक नियम छिपा है, और जो विद्यार्थी उसे खोज ले, उत्तर उसका।

02जल-घड़ी की कथा

लीलावती कौन थी? यह कथा फ़ैज़ी ने 1587 में अकबर के लिए किए गए फ़ारसी अनुवाद की भूमिका में दर्ज की है। कथा कहती है कि भास्कर की पुत्री लीलावती की कुंडली में लिखा था कि ठीक एक मुहूर्त में विवाह न हुआ तो वह शीघ्र विधवा होगी। भास्कर ने पानी के बर्तन में छोटे छेद वाला एक कटोरा तैराया, जो डूबकर मुहूर्त बताता। लीलावती झुककर देख रही थी कि उसके आभूषण से एक मोती गिरा और छेद में अटक गया; मुहूर्त बिना पता चले निकल गया और विवाह गलत समय पर हुआ। पुत्री को सांत्वना देने के लिए पिता ने अपने ग्रंथ को उसका नाम दिया, ताकि उसका नाम अमर रहे। ग्रंथ का पहला श्लोक एक दूसरा अर्थ भी देता है: वह इसे लालित्य-लीलावती, यानी लालित्य और लीला से भरी, कहता है।

03भास्कर और उनका ग्रंथ

भास्कराचार्य गोलाध्याय में बताते हैं कि उनका जन्म शक 1036, अर्थात 1114 ई., में हुआ और छत्तीस वर्ष की आयु में, 1150 ई. में, उन्होंने सिद्धान्त शिरोमणि पूरा किया। वे सह्याद्रि पर्वत के पास विज्जडविड में रहते थे, और उनके पिता महेश्वर ही उनके गुरु थे। शिरोमणि के चार भाग हैं: अंकगणित और मापन पर लीलावती, बीजगणित, ग्रहों पर ग्रहगणित, और गोल पर गोलाध्याय। उन्होंने स्वयं वासना नाम की टीका लिखी, और बाद में 1183 में करणकुतूहल नाम की व्यावहारिक पुस्तिका। तिथियाँ वे स्वयं देते हैं, इसलिए इन पर कोई वास्तविक विवाद नहीं।

04मान से अंकपाश तक

ग्रंथ श्री गणेश को नमन और मानों की सारणियों से खुलता है: मुद्रा के लिए कौड़ी और पण, सोने के लिए गुंजा और माशा, लंबाई के लिए अंगुल और हस्त, और दस की सत्रह घात तक स्थान-मानों के नाम। फिर पूर्णांकों और भिन्नों पर आठ परिकर्म, शून्य के नियम, और प्रकीर्णक की चतुर विधियाँ आती हैं: उल्टा चलकर हल करना, कोई संख्या मानकर उसे सुधारना। फिर अनुपात, ब्याज और मिश्रण, फिर श्रेढ़ी, फिर क्षेत्र-व्यवहार का लंबा अध्याय, फिर खात, ईंटों की चिति, क्रकच, अनाज की राशि और छाया। अंत में कुट्टक और अंकपाश, कुल मिलाकर लगभग 270 श्लोक।

05भौंरे, हंस और कमल

भौंरों का प्रश्न कभी भारत का हर विद्यार्थी जानता था। झुंड का पाँचवाँ भाग कदम्ब पर जाता है, तीसरा भाग शिलीन्ध्र पर, उनके अंतर का तीन गुना कुटज पर, और एक भौंरा केतकी और मालती की सुगंध के बीच खिंचता हुआ आकाश में मँडराता रह जाता है। उत्तर पंद्रह है। हंसों के प्रश्न में झुंड के वर्गमूल के आधे का सात गुना तट पर चलता है और दो जोड़े पानी में खेलते हैं; झुंड सोलह का है। शांत जल के ऊपर आधा हस्त उठा एक कमल हवा से झुककर दो हस्त दूर डूब जाता है, और विद्यार्थी को समकोण त्रिभुज से सरोवर की गहराई निकालनी है।

06वृत्त, गोल और अभिमानी

वृत्त के लिए भास्कर दो मान देते हैं। व्यास को 3,927 से गुणा करके 1,250 से भाग दो तो सूक्ष्म परिधि; 22 से गुणा करके 7 से भाग दो तो रोज़ के काम के लिए स्थूल परिधि। वे वृत्त का क्षेत्रफल परिधि और व्यास के गुणनफल का चौथाई, गोले का पृष्ठ उसका चार गुना, और जीवा तथा चाप के नियम देते हैं। अंकपाश के अंतिम अध्याय में वे गिनते हैं कि दिए गए अंकों से कितनी संख्याएँ बन सकती हैं, और फिर एक चुटकी लेने वाला श्लोक जोड़ते हैं: यहाँ न गुणा है, न भाग, न वर्ग, न घन, फिर भी घमंडी और मूर्ख गणक इस अंकों के जाल में अवश्य गिरेंगे।

07बीजगणित में चक्रवाल

लीलावती अंकगणित तक रहती है; कठिन काम उसकी बहन बीजगणित में है। वहाँ भास्कर चक्रवाल, यानी चक्रीय विधि, देते हैं, जो Nx² + 1 = y² जैसे किसी भी समीकरण को लेकर घूम-घूमकर हर बार अनुमान सुधारती है, जब तक पूर्णांक उत्तर न आ जाए। उनका उदाहरण 61x² + 1 = y² है, जिसका सबसे छोटा उत्तर x = 22,61,53,980 और y = 1,76,63,19,049 है। 1657 में पिएर द फ़र्मा ने ठीक यही समीकरण यूरोप के गणितज्ञों के सामने चुनौती के रूप में रखा। भास्कर उसे पाँच सौ वर्ष पहले पद्य की कुछ पंक्तियों में हल कर चुके थे।

08पाटणे की पाठशाला

खानदेश में चालीसगाँव के पास पाटणे का 1207 का एक शिलालेख बताता है कि भास्कर के पौत्र और यादव राजा सिंघण के ज्योतिषी चंगदेव ने वहाँ एक मठ स्थापित किया, जहाँ सिद्धान्त शिरोमणि और उनके कुल के अन्य ग्रंथ पढ़ाए जाएँ। किसी एक कुल का गणित पढ़ाने के लिए स्थापित पाठशाला का यह दुर्लभ प्रमाण है। उन्नीसवीं शताब्दी तक काशी से केरल तक की पाठशालाओं में लीलावती पढ़ाई जाती रही, और विद्यार्थी इसके श्लोक वैसे ही कंठस्थ करते थे जैसे अमरकोश।

09टीकाएँ और अनुवाद

बीस से अधिक टीकाएँ बची हैं। केरल में शंकर वारियर और नारायण ने लगभग 1534 में क्रियाक्रमकरी लिखी, जिसकी टिप्पणियों में केरल परंपरा की नई श्रेणियाँ भी आईं; गणेश दैवज्ञ ने 1545 में बुद्धिविलासिनी लिखी, और महीधर ने लीलावतीविवरण। फ़ैज़ी के 1587 के फ़ारसी रूप ने इसे मुग़ल दरबार में फैलाया। जॉन टेलर ने 1816 में बंबई से इसका अंग्रेज़ी अनुवाद छापा, और एच. टी. कोलब्रुक ने 1817 में लंदन से लीलावती और बीजगणित एक साथ। मराठी, हिंदी, तेलुगु, कन्नड़ और अन्य भाषाओं में अनुवाद हुए, और 1937 का आनन्दाश्रम संस्करण आज भी मानक संस्कृत पाठ है।

इसमें क्या है

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   परिभाषा

   मानों की सारणियाँ: कौड़ी, पण और निष्क में मुद्रा, सोने और अनाज के भार, अंगुल से योजन तक लंबाई, और आयतन। इसमें इकाई से दस की सत्रह घात तक स्थान-मानों के नाम भी हैं।

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   परिकर्माष्टक

   पूर्णांकों पर आठ मूल परिकर्म: संकलन, व्यवकलन, गुणन, भाग, वर्ग, वर्गमूल, घन और घनमूल। एक ही उदाहरण पर गुणा की कई विधियाँ साथ-साथ दिखाई गई हैं।

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   भिन्न और शून्य

   वही आठ परिकर्म भिन्नों पर, भिन्नों को समान हर में लाने की विधि सहित। फिर शून्य के नियम: किसी संख्या में शून्य जोड़ने से वह नहीं बदलती, शून्य से गुणा करने पर शून्य, और शून्य से भाग देने पर संख्या खहर कहलाती है।

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   प्रकीर्णक

   विविध विधियाँ: विलोम विधि (उत्तर से उल्टा चलना), इष्टकर्म (कोई संख्या मानकर सुधारना), और वर्गों के योग-अंतर के प्रश्न। भौंरों और हंसों के प्रश्न इसी भाग के हैं।

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   त्रैराशिक

   अनुपात: त्रैराशिक और व्यस्त त्रैराशिक, फिर पंचराशिक, सप्तराशिक, नवराशिक और एकादशराशिक। अंत में भांड-प्रतिभांड, यानी तय दरों पर एक वस्तु का दूसरी से विनिमय।

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   मिश्रक

   मिश्रण: साधारण ब्याज, साझेदारों में लाभ का बँटवारा, कई नलों से हौज़ का भरना, और मिले हुए सोने की शुद्धता। अंत में स्वादों और महल की खिड़कियों के संयोग गिने गए हैं।

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   श्रेढ़ी

   समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी: पहली n संख्याओं का योग, उन योगों का योग, वर्गों और घनों का योग। एक प्रश्न पूछता है कि जो दाता याचक को पहले दिन दो कौड़ी और फिर हर दिन दोगुना देने का वचन दे, वह एक मास में कितना देगा।

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   क्षेत्र-व्यवहार

   सबसे लंबा अध्याय: समकोण त्रिभुज और उसकी भुजाएँ, त्रिभुज और चतुर्भुज, 3,927/1,250 वाला वृत्त, गोला, जीवा और चाप। कमल, मोर और टूटे बाँस के प्रश्न इसी के हैं।

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   खात, चिति, क्रकच, राशि

   व्यावहारिक आयतन: गड्ढे से निकली मिट्टी, दीवार या वेदी की ईंटें, लकड़ी की चिराई में आरी से कटा क्षेत्र, और दीवार या कोने से लगे अनाज के ढेर का परिमाण।

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    छाया-व्यवहार

    दीपक से पड़ने वाली शंकु की छाया: दो छायाओं से दीपक की ऊँचाई या दूरी निकालना। यह समरूप त्रिभुजों पर लगा त्रैराशिक है।

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    कुट्टक

    प्रथम घात के अनिर्धार्य समीकरण, ax + c = by पूर्णांकों में, बार-बार भाग देकर हल। भास्कर इसमें छोटी विधियाँ और शून्य क्षेप वाली स्थिति जोड़ते हैं।

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    अंकपाश

    क्रमचय और संचय: दिए गए अंकों से कितनी संख्याएँ बनती हैं, उनका योग, और कितनी संख्याओं के अंकों का योग दिया हुआ है। अंत में घमंडी गणकों पर चुटकी वाला श्लोक और लीलावती को कंठ में रखने वालों के लिए आशीर्वाद।

प्रसिद्ध श्लोक

प्रीतिं भक्तजनस्य यो जनयते विघ्नं विनिघ्नन् स्मृतस्तं वृन्दारकवृन्दवन्दितपदं नत्वा मतङ्गाननम्। पाटीं सद्गणितस्य वच्मि चतुरप्रीतिप्रदां प्रस्फुटां संक्षिप्ताक्षरकोमलामलपदैर्लालित्यलीलावतीम्॥

उन गजानन को नमन करके, जिनके चरणों की वंदना देवगण करते हैं, जो स्मरण करने पर भक्तों को प्रसन्नता देते और विघ्न हरते हैं, मैं उत्तम गणित की यह विधि कहता हूँ, जो स्पष्ट है, चतुरों को आनंद देती है, और संक्षिप्त, कोमल और निर्मल शब्दों में लालित्य और लीला से भरी है।Lilavati 1

अये बाले लीलावति मतिमति ब्रूहि सहितान् द्विपञ्चद्वात्रिंशत्त्रिनवतिशताष्टादश दश। शतोपेतानेतानयुतवियुतांश्चापि वद मे यदि व्यक्ते युक्तिव्यवकलनमार्गेऽसि कुशला॥

हे बुद्धिमती बालिका लीलावती, दो, पाँच, बत्तीस, एक सौ तिरानवे, अठारह और दस में सौ मिलाकर इनका योग बताओ; और यदि तुम जोड़ने-घटाने में कुशल हो तो यह भी बताओ कि दस हज़ार में से इन्हें घटाने पर क्या बचता है।Lilavati 13

पञ्चांशोऽलिकुलात्कदम्बमगमत्त्र्यंशः शिलीन्ध्रं तयोर्विश्लेषस्त्रिगुणो मृगाक्षि कुटजं दोलायमानोऽपरः। कान्ते केतकमालतीपरिमलप्राप्तैककालप्रियादूताहूत इतस्ततो भ्रमति खे भृङ्गोऽलिसंख्यां वद॥

भौंरों के झुंड का पाँचवाँ भाग कदम्ब पर गया, तीसरा भाग शिलीन्ध्र पर; हे मृगनयनी, उनके अंतर का तीन गुना कुटज पर गया। एक भौंरा केतकी और मालती की सुगंध के एक साथ बुलावे से आकाश में इधर-उधर डोलता रहा। हे प्रिये, भौंरों की संख्या बताओ।Lilavati 55

व्यासे भनन्दाग्निहते विभक्ते खबाणसूर्यैः परिधिः स सूक्ष्मः। द्वाविंशतिघ्ने विहृतेऽथ शैलैः स्थूलोऽथवा स्याद्व्यवहारयोग्यः॥

व्यास को 3,927 से गुणा करके 1,250 से भाग देने पर सूक्ष्म परिधि आती है। या 22 से गुणा करके 7 से भाग देने पर स्थूल परिधि, जो रोज़ के व्यवहार के योग्य है।Lilavati 199

येषां सुजातिगुणवर्गविभूषिताङ्गी शुद्धाखिलव्यवहृतिः खलु कण्ठसक्ता। लीलावतीह सरसोक्तिमुदाहरन्ती तेषां सदैव सुखसम्पदुपैति वृद्धिम्॥

जो लीलावती को कंठ में धारण करते हैं, जिसके अंग उत्तम जाति, गुण और वर्ग से सजे हैं, जिसके सारे व्यवहार शुद्ध हैं और जो सरस वचन बोलती है, उनका सुख और संपत्ति सदा बढ़ती है। यही श्लोक उत्तम कुल की गुणवती वधू की प्रशंसा के रूप में भी पढ़ा जाता है।Lilavati 272